【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)-xa∈R.

(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.

【答案】(1)見解析(2)5.

【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化研究二次函數(shù)符號變化規(guī)律:當(dāng)判別式非正時,導(dǎo)函數(shù)不變號;當(dāng)判別式大于零時,定義域上有兩個根 ,導(dǎo)函數(shù)符號先負再正再負(2)先利用參變分離法化簡不等式得,轉(zhuǎn)化求函數(shù)最小值,利用導(dǎo)數(shù)可得有唯一極小值,也是最小值,再根據(jù)極點條件求最小值取值范圍,進而可得a的最小值.

試題解析 解 (1)f′(x)=,x>-1.

當(dāng)a時,f′(x)≤0,∴f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)0<a<時,

當(dāng)-1<x<時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)<x<時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)a時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+∞);

當(dāng)0<a<時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)原式等價于ax>(x+1)ln (x+1)+2x+1,

即存在x>0,使成立.

設(shè),x>0,

,x>0,

設(shè)h(x)=x-1-ln (x+1),x>0,

h′(x)=1->0,∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

h(2)<0,h(3)>0,根據(jù)零點存在性定理,可知h(x)在(0,+∞)上有唯一零點,設(shè)該零點為x0,則x0-1=ln (x0+1),且x0∈(2,3),

a>x0+2,a∈Z,∴a的最小值為5.

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