已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.

(1)若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)c為定值時(shí)，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求·的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；
(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.
（1）＝1.（2）見解析（3）
(1)解：令橢圓mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即橢圓方程為＝1.
(2)證明：直線AB：＝1，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則OP的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)O、M、P、N所在的圓的方程為＝，化簡(jiǎn)為x2－x0x＋y2－y0y＝0，與圓x2＋y2＝作差，即直線MN：x0x＋y0y＝.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線AB上，得＝1，
所以x0＋＝0，即 
得x＝－，y＝，故定點(diǎn)E ，·＝＝.
(3)解：由直線AB與圓G：x2＋y2＝ (c是橢圓的焦半距)相離，則＞，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因?yàn)?＜e＜1，所以0＜e2＜3－�、�.連結(jié)ON、OM、OP，若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因?yàn)?＜e＜1，所以≤e2＜1，②.由①②得≤e2＜3－，所以
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
(1)若是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上.設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）試判斷圓與軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

方程mx2+y2=1所表示的所有可能的曲線是(　　)
A．橢圓、雙曲線、圓
B．橢圓、雙曲線、拋物線
C．兩條直線、橢圓、圓、雙曲線
D．兩條直線、橢圓、圓、雙曲線、拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

方程的曲線即為函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)，下列命題中正確的是.（請(qǐng)寫出所有正確命題的序號(hào)）
①函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；②函數(shù)的值域是；
③函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
⑤函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，離心率為e，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線上，則e2 =（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線F1A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P，離心率是.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線l過點(diǎn)E (－1,0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|＝2|EB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)(2，1)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且＝3.求過O，A，B三點(diǎn)的圓的方程．

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