已知函數(shù).
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；  
（2）設，求在上的最大值；
（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）在上的最大值為；
(3) 證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）先對函數(shù)求導，令導函數(shù)為0，即可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）結合函數(shù)的單調(diào)性，分時，時，三種情況進行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過程轉化為恒成立問題即可.
試題解析：（1）解：（1）函數(shù)的定義域是．由已知．
令，得．
因為當時，；當時，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知當，即時，在上單調(diào)遞增，所以．
當時，在上單調(diào)遞減，所以．
當，即時，．
綜上所述，
（3）由（1）知當時．所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為，，所以，即．因此對任意，不等式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)定義在上，，導函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）討論與的大小關系；
（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量(件)之間近似地滿足關系式(日產(chǎn)品廢品率)．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額）
（1）將該車間日利潤(千元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù)；
（2）當該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，如圖所示．
（1）求的極大值點；
（2）求的值；
（3）若，求在區(qū)間上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知，函數(shù)．
（Ⅰ）當時，
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點與點的關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

巳知函數(shù)，，其中.
(1)若是函數(shù)的極值點，求的值；
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)記，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片，其缺口邊界是口寬4分米，深2分米（頂點至兩端點所在直線的距離）的拋物線形的一部分，現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形．
（1）若保持其缺口寬度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值；
（2）若保持其缺口深度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點P(1,2)是曲線y=2x2上一點，則P處的瞬時變化率為   （    ）
A．2B．4 C．6D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設函數(shù)，且，則（ ）
A．0B．－1C．3D．－6

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