Question

已知f（x）=log

1

2

1-sinx

1+sinx

（1）求出它的定義域和值域；
（2）判斷它的奇偶性、周期性和單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，解關(guān)于x的不等式得-1＜sinx＜1，從而得到函數(shù)f（x）的定義域；再由對(duì)數(shù)函數(shù)的值域結(jié)合真數(shù)

1-sinx

1+sinx

的取值范圍，即可得到函數(shù)f（x）的值域；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和正弦函數(shù)奇偶性，利用函數(shù)奇偶性定義可得f（x）是奇函數(shù)；利用正弦函數(shù)的周期，可得f（x）是周期為2π的周期函數(shù)；最后用分離常數(shù)的方法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判別法則可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵

1-sinx

1+sinx

＞0，∴（sinx-1）（sinx+1）＜0，可得-1＜sinx＜1
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠

π

2

+kπ，k∈Z}
∵t=

1-sinx

1+sinx

＞0，y=log

1

2

t∈R
∴f（x）=log

1

2

1-sinx

1+sinx

的值域?yàn)镽；
（2）∵f(-x)=log

1

2

1-sin(-x)

1+sin(-x)

=log

1

2

1+sinx

1-sinx

而-f(x)=-log

1

2

1-sinx

1+sinx

=log

1

2

(

1-sinx

1+sinx

)-1=log

1

2

1+sinx

1-sinx

∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是其定義域上的奇函數(shù)；
∵f(x+2π)=log

1

2

1-sin(x+2π)

1+sin(x+2π)

=log

1

2

1-sinx

1+sinx

=f（x）
∴f（x）是周期為2π的周期函數(shù)；
∵t=

1-sinx

1+sinx

=-1+

2

1+sinx

，t隨著sinx的增大而減小，且

1

2

∈（0，1）
∴f(x)=log

1

2

1-sinx

1+sinx

隨著sinx的增大而增大
由此可得在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，sinx的增區(qū)間就是f（x）的增區(qū)間，sinx的減區(qū)間就是f（x）的減區(qū)間．
因此，函數(shù)f(x)=log

1

2

1-sinx

1+sinx

的增區(qū)間為（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ），減區(qū)間為（

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ），其中k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有sinx的分式作為真數(shù)的對(duì)數(shù)型函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期等問(wèn)題．著重考查了基本初等函數(shù)的常見性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則等知識(shí)，屬于中檔題．