Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于點(diǎn)E，
求證：（1）BD₁⊥平面ACB₁；
（2）BE=ED₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數(shù)量積，，從而證明BD₁⊥平面ACB₁；
（2）設(shè)底面正方形的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M，推出2=．設(shè)=b，=m，=b₁，=d₁，求得點(diǎn)E分線段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，點(diǎn)E是D₁B與平面ACB₁之交點(diǎn)，此交點(diǎn)E將D₁B分成2與1之比，即BE=ED₁．
解答：證明：（1）先證明BD₁⊥AC．
∵=++，=+，
∴•=（++）•（+）
=•+•=•-•=||²-||²
=1-1=0．
∴BD₁⊥AC．同理可證BD₁⊥AB₁，
于是BD₁⊥平面ACB₁．
（2）設(shè)底面正方形的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M，則==，即2=．
對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，設(shè)=b，=m，=b₁，=d₁，
則上述等式可改寫(xiě)成2（m-b）=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b．記==e．
此即表明，由e向量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E分線段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，
所以點(diǎn)E既在線段B₁M（B₁M?面ACB₁）上又在線段D₁B上，
所以點(diǎn)E是D₁B與平面ACB₁之交點(diǎn)，此交點(diǎn)E將D₁B分成2與1之比，
即D₁E：EB=2：1．∴BE=ED₁．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力，是中檔題．