Question

8．在正項等比數(shù)列{a_n}中，若a₃-a₅=5，則a₃+a₅的取值范圍為（5，+∞）．

Answer 1

分析 法一、令a₃+a₅=t，與已知等式聯(lián)立求得a₃、a₅，結(jié)合$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}={q}^{2}（0＜q＜1）$即可求得答案．
法二、設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a₃-a₅=5，得${a}_{3}（1-{q}^{2}）=5$，可得0＜q＜1，則a₃+a₅=5+10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$，當q→0時，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→0；當q→1時，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→∞，由此求得答案．

解答 解：法一、
令a₃+a₅=t，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}-{a}_{5}=5}\\{{a}_{3}+{a}_{5}=t}\end{array}\right.$，解得${a}_{3}=\frac{t+5}{2}$，${a}_{5}=\frac{t-5}{2}$，
顯然只有0＜q＜1才能保證a_n為正項且a₃＞a₅，
則由$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}=\frac{t-5}{t+5}={q}^{2}∈（0，1）$，解得t＞5．
即a₃+a₅∈（5，+∞）．
故答案為：（5，+∞）．
法二、
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a₃-a₅=5，得${a}_{3}（1-{q}^{2}）=5$，
顯然只有0＜q＜1才能保證a_n為正項且a₃＞a₅，
則a₃+a₅=a₃（1+q²）=a₃（1-q²）+2a₃q²=5+2a₃q²=5+10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$，
當q→0時，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→0；當q→1時，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→∞，
∴a₃+a₅＞5．
故答案為：（5，+∞）．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查極限思想方法的應(yīng)用，是中檔題．