Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，$\frac{{2{S_n}}}{n}={a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^2}-n-\frac{2}{3}$，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）在數(shù)列{b_n}中，${b_n}=\frac{4n+2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（3）利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{2{S_n}}}{n}={a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^2}-n-\frac{2}{3}$，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時，$2{a_1}=2{S_1}={a_2}-\frac{1}{3}-1-\frac{2}{3}={a_2}-2$，
又a₁=1，∴a₂=4．
（2）∵$\frac{{2{S_n}}}{n}={a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^2}-n-\frac{2}{3}$，n∈N^*．
∴$2{S_n}=n{a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^3}-{n^2}-\frac{2}{3}n=n{a_{n+1}}-\frac{{n（{n+1}）（{n+2}）}}{3}$①，
∴當(dāng)n≥2時，$2{S_{n-1}}=（{n-1}）{a_n}-\frac{{（{n-1}）n（{n+1}）}}{3}$②
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1，∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$（n≥2），
又$\frac{a_2}{2}-\frac{a_1}{1}=1$，∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以首項為$\frac{a_1}{1}=1$，公差為1的等差數(shù)列．
∴$\frac{a_n}{n}=1+1×（{n-1}）=n$，∴${a_n}={n^2}（{n∈{N^*}}）$．
（3）證明：由（2）知，${a_n}={n^2}，n∈{N^*}$，
則${b_n}=\frac{4n+2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{4n+2}{{{n^2}•{{（n+1）}^2}}}=2（\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）$；
∴${T_n}=2（\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）=2（1-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）$

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．