Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x2﹣ax（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)）．
（1）當a=e時，求g（x）的極大值點；
（2）討論f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=e時，g（x）=2x﹣ex，g′（x）=2﹣ex，

令g′（x）=0得：2﹣ex=0，解得x=ln2，

∴當x＜ln2時，g′（x）＞0；當x＞ln2時，g′（x）＜0，

∴g（x）的極大值點為ln2．

（2）解：（Ⅰ）當a＞1時，f′（x）=2x﹣lnaax，

∴當x≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，

∵f（﹣1）=1﹣ ＞0，f（0）=﹣1＜0，

∴f（x）在（0，+∞）有一個零點；

當x＞0時，令f（x）=0得x2=ax，即lna= ，

令h（x）= ，則h′（x）= ．

∴當0＜x＜e時，h′（x）＞0；當x＞e時，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，

做出y=h（x）的圖象如下圖，

由圖象可知：

①當lna＞ 即a＞e 時，f（x）在（0，+∞）上無零點；

②當lna= 即a=e 時，f（x）在（0，+∞）上有1個零點；

③當0＜lna＜ 即1＜a＜e 時，f（x）在（0，+∞）上有2個零點；

（Ⅱ）當0＜a＜1時，f′（x）=2x﹣lnaax，

∴當 x＞0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∵f（0）=﹣l＜0，f（1）=1﹣a＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上有1個零點；

當x＜0時，令f（x）=0得lna= ，

令H（x）= ，則H′（x）= ，

∴當﹣e＜x＜0時，H′（x）＞0，當x＜﹣e時，H′（x）＜0，

∴H（x）在（﹣∞，﹣e）上單調(diào)遞減，在（﹣e，0）上單調(diào)遞增，

作出y=H（x）的函數(shù)圖象如圖：

由圖象可知：

當lna＜﹣ 即0 時，f（x）在（﹣∞，0）上無零點；

當lna=﹣ 即a=e 時，f（x）在（﹣∞，0）上有1個零點；

當﹣ ＜lna＜0即e ＜a＜1時，f（x）在（﹣∞，0）上有2個零點；

綜上：

①當0＜a＜e 或a＞e 時，f（x）有1個零點；

②當a=e 或a=e 時，f（x）有2個零點；

③當e ＜a＜1或1＜a＜e 時，f（x）有3個零點．

【解析】（1）令g′（x）=0求出g（x）的極值點，判斷g′（x）的符號變化即可得出答案；（2）f′（x）=2x﹣lnaax ， 對a和x進行討論，利用零點的存在性定理，結(jié)合函數(shù)的圖象判斷零點的個數(shù)．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．