Question

橢圓C中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）已知直線l（l不垂直于x軸）交橢圓C于P、Q兩點，若

OP

•

OQ

=0，求證：點O到直線l的距離是

6

3

．

Answer 1

分析：（I）先設橢圓的標準方程，根據離心率得到a，c的關系，再由橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

可得到點（c，

2

2

）在橢圓上，代入可得到b的值，再結合離心率可得到a，c的值，從而得到橢圓C的標準方程．
（II）先設點P、Q的坐標，然后聯(lián)立直線和橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，從而得到兩根之和與兩根之積的關系式，進而可表示出y₁y₂的關系式，再由

OP

•

OQ

=0可得到

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，整理可得到3m2-2k2-2=0，所以m2=

2k2+2

3

，然后表示出點O到直線l的距離再將m2=

2k2+2

3

代入即可求出點O到直線l的距離為定值，從而得證．

解答：解：（I）設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，因為e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，
據題意，點(c，

2

2

)在橢圓上，則

1

2

+

1 2

b2

=1，解得b=1
a2-c2=b2=1，則c=1，a=

2

，圓的方程為

x2

2

+y2=1
（II）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k2•

2m2-2

2k2+1

+km•

-4km

2k2+1

+m2=

m2-2k2

2k2+1

因為

OP

•

OQ

=0，

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，
即3m2-2k2-2=0，所以m2=

2k2+2

3

點O到直線l的距離d=

|m|

k2+1

=

m2 k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

即點O到直線l的距離為定值

6

3

點評：本題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重點，每年必考．一般都是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程消去一個未知數，得到一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，再結合題意來解．