Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=

2

，AD=

3

，點F是PB的中點，點E是邊BC上的動點．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅱ）當(dāng)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，則V_E-PAD=V_P-ADE，運用棱錐的體積公式計算即得；
（Ⅱ）運用線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅲ）由線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，
∴V_E-PAD=V_P-ADE，
=

1

3

×

1

2

×

3

×

2

×

2

=

3

3

；
（Ⅱ）EF與平面PAC平行．
理由如下：當(dāng)E為BC中點時，∵F為PB的中點，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（Ⅲ）證明：∵PA=AB，F(xiàn)為PB的中點，
∴AF⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB
∴BC⊥AF．
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
因無論點E在邊BC的何處，都有PE?平面PBC，
∴PE⊥AF．

點評：本題考查直線與平面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理和運用，考查棱錐的體積公式，考查運算能力，屬于中檔題．