Question

11．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，求得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）當$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x$=sin2x+$\sqrt{3}$（1+cos2x）
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（2）當$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$時，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
故當2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=0，
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．