Question

【題目】如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，，過P、作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】試題分析：（1）先將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，再與離心率聯(lián)立方程組解得a,b，（2）根據(jù)題意得點(diǎn)P是橢圓上到點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)，因此先建立橢圓上任意一點(diǎn)到Q距離的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最小值取法得，再根據(jù)得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后根據(jù)P點(diǎn)在橢圓上解得，即得圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，在橢圓上，

則，從而

由，得，從而．

故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）由橢圓的對稱性，可設(shè)．

又設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則

設(shè)，由題意知，點(diǎn)P是橢圓上到點(diǎn)Q的距離最小的點(diǎn)，

因此，上式當(dāng)時(shí)取最小值．

又因?yàn)?/span>，∴上式當(dāng)時(shí)取最小值，

從而，且．因?yàn)?/span>，且，

∴，即

由橢圓方程及，得，

解得，從而．

故這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為