Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N⁺，我們把使a₁•a₂•a₃•…•a_k為整數(shù)的數(shù)k（k∈N⁺）叫做數(shù)列{a_n}的理想數(shù)．給出下列關(guān)于數(shù)列{a_n}的幾個結(jié)論：
①數(shù)列{a_n}的最小理想數(shù)是2；
②數(shù)列{a_n}的理想數(shù)k的形式可以表示為k=4ⁿ-2；
③在區(qū)間[1，2011]內(nèi){a_n}的所有理想數(shù)之和為2026；
④對任意的n∈N⁺，有a_n+1＞a_n．
其中正確的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：由 ，知a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．log₂（n+2）為整數(shù)的最小的n=2，數(shù)列{a_n}的最小理想數(shù)是2．{a_n}的理想數(shù)k的形式可以表示為k=2^n-1，先利用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2）；然后根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，可得k=2ⁿ-2；最后由等比數(shù)列前n項和公式解決問題．對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故正確結(jié)論的序號為①③．
解答：解：，
∴a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．
∵k∈N^*，∴l(xiāng)og₂（n+2）為整數(shù)的最小的n=2，數(shù)列{a_n}的最小理想數(shù)是2．故①正確；
{a_n}的理想數(shù)k的形式可以表示為k=2^n-1，故②不成立；
∴k∈[1，2011]內(nèi)所有的幸運數(shù)的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=-2×9=2026  （2¹¹-2＞2011）
故答案為2026．
對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故③成立；
=1，故④不成立．
故正確答案為①③．
故答案為：①③
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，本題在理解新定義的基礎(chǔ)上，考查換底公式、疊乘法及等比數(shù)列前n項和公式，其綜合性、技巧性是比較強的．