Question

9．點(diǎn)A（0，2）是圓x²+y²=16內(nèi)的定點(diǎn)，B，C是這個(gè)圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若BA⊥CA，求BC中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析 設(shè)M（x，y），則由垂徑定理，可得OM⊥BC，利用|MB|²=|OB|²-|OM|²，|OB|²=|MO|²+|MA|²，即可求BC中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），因?yàn)镸是弦BC的中點(diǎn)，故OM⊥BC．
又∵∠BAC=90°，∴|MA|=$\frac{1}{2}$|BC|=|MB|．
∵|MB|²=|OB|²-|OM|²，
∴|OB|²=|MO|²+|MA|²，即4²=（x²+y²）+[（x-0）²+（y-2）²]，化簡(jiǎn)為x²+y²-2y-6=0，
即x²+（y-1）²=7．
∴所求軌跡為以（0，1）為圓心，以$\sqrt{7}$為半徑的圓． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 垂徑定理的使用，讓我們的關(guān)系在尋找M的坐標(biāo)中的x與y時(shí)，跳過(guò)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C，而直達(dá)一個(gè)非常明確的結(jié)果，減少了運(yùn)算量．