已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)的和，且數(shù)學(xué)公式，n∈N+．
（Ⅰ）計(jì)算出a1，a2，a3，然后猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

解：（I）由于?
當(dāng)n=1時(shí)，，可得a1=1，
當(dāng)n=2時(shí)，，可得（an＞0），
當(dāng)n=3時(shí)，，可得（an＞0），
猜想：（n∈N+）
（II）證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，
即，
∴．
由（1）（2）可知對(duì)n∈N+，成立．
分析：（I）由題意可得，令n=1可得a1=1，可求得a2，再由a2的值求 a3的值，并猜想an，
（II）猜想，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　　）
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，點(diǎn)(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對(duì)?n∈N+恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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