【題目】已知拋物線和軸上的定點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)作一條直線交于、兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于、兩點(diǎn).

（1）求證：直線過定點(diǎn)；

（2）求直線與直線最大夾角為，求.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)直線、斜率不存在時(shí)，可直接求解；當(dāng)直線、斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組得，，，，結(jié)合可得直線，即可得證；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，易證，利用求出最大值即可得解.

（1）證明：由題意知拋物線焦點(diǎn)，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，易得，，

則直線，，

所以點(diǎn)，，此時(shí)直線；

當(dāng)線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，

則，化簡(jiǎn)得，，

則，，

①當(dāng)時(shí)，則，所以，，點(diǎn)，

所以直線，點(diǎn)，

直線，則解得點(diǎn)，

所以直線；

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，

則，結(jié)合化簡(jiǎn)得，

此方程有一根為，所以，所以，所以，

同理可得，

由，，可得，，

所以，

所以直線，化簡(jiǎn)得，

可得直線過點(diǎn)；

綜上，直線恒過點(diǎn)；

（2）由（1）知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線與直線的夾角為，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以對(duì)于直線與直線最大夾角，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：經(jīng)過定點(diǎn)，其左右集點(diǎn)分別為，且，過右焦且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）

A. B. C. D. 2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理，強(qiáng)化飲食安全，提出了“遠(yuǎn)離外賣，健康飲食”的口號(hào)．當(dāng)然，也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學(xué)們的需求．在學(xué)期末，校學(xué)生會(huì)為了調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人，每人分別對(duì)其評(píng)分，滿分為100分．隨后整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B部分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表．

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

7

18

21

24

70

60

定義：學(xué)生對(duì)食堂的“滿意度指數(shù)”

分?jǐn)?shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）A部為進(jìn)一步改善經(jīng)營(yíng)，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實(shí)踐活動(dòng)，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據(jù)調(diào)研結(jié)果評(píng)選學(xué)生放心餐廳，應(yīng)該評(píng)選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為C，設(shè)橢圓E在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）證明：O、C、P三點(diǎn)共線；

（2）已知是拋物線的弦，所在直線過該拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，是弦在兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)，小明同學(xué)猜想：在定直線上．你認(rèn)為小明猜想合理嗎？若合理，請(qǐng)寫出所在直線方程；若不合理，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)，過點(diǎn)P，M的直線交拋物線C1于另一點(diǎn)Q，且|PM|＝2|MQ|，過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸（取相同單位長(zhǎng)度）建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為：．

（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）若，求曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離；

（2）若曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已成為一種時(shí)尚，某中學(xué)統(tǒng)計(jì)了該校教職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校教職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；

（Ⅱ）若該校有教職工175人，試估計(jì)一天行走步數(shù)不大于130百步的人數(shù)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下該校從行走步數(shù)大于150百步的3組教職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足活動(dòng)，再?gòu)?/span>6人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來自區(qū)間的概率．

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同步練習(xí)冊(cè)答案