Question

4．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a＞0），當(dāng)n≥2時(shí)，a_n，0，S_n•S_n-1成等差數(shù)列，其中S_n為數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在連續(xù)的三項(xiàng)a_k-1，a_k，a_k+1為等差數(shù)列？若存在，求出k及對應(yīng)的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n，0，S_n•S_n-1成等差數(shù)列，可得a_n+S_n•S_n-1=0，即可得出．
（2）n≥2時(shí)，S_n-S_n-1+S_nS_n-1=0，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n．再利用遞推關(guān)系即可得出．
（3）n≥2時(shí)，假設(shè)存在存在連續(xù)的三項(xiàng)a_k-1，a_k，a_k+1為等差數(shù)列，則2a_k=a_k-1+a_k+1，化簡即可判斷出；當(dāng)n=1時(shí)，若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，則a-$\frac{{a}^{2}}{（a+1）（2a+1）}$=-$\frac{2{a}^{2}}{a+1}$，解出a即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n，0，S_n•S_n-1成等差數(shù)列，
∴a_n+S_n•S_n-1=0，
∴a₂+（a₁+a₂）•a₁=0，
又a₁=a（a＞0），∴a₂=-$\frac{{a}^{2}}{a+1}$．
同理可得：a₃=-$\frac{{a}^{2}}{（a+1）（2a+1）}$．
（2）n≥2時(shí)，S_n-S_n-1+S_nS_n-1=0，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，
即數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是公差為1的等差數(shù)列，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{a}$+（n-1），
∴S_n=$\frac{1}{\frac{1}{a}+（n-1）}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{\frac{1}{a}+（n-1）}$-$\frac{1}{\frac{1}{a}+n-2}$=$\frac{{a}^{2}}{[（n-1）a+1][（n-2）a+1]}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=1}\\{-\frac{{a}^{2}}{[（n-1）a+1][（n-2）a+1]}，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）n≥2時(shí)，假設(shè)存在存在連續(xù)的三項(xiàng)a_k-1，a_k，a_k+1為等差數(shù)列，
則2a_k=a_k-1+a_k+1，
化為（n-2）a+1=（n+1）a+1，顯然不成立；
當(dāng)n=1時(shí)，若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，
則a-$\frac{{a}^{2}}{（a+1）（2a+1）}$=-$\frac{2{a}^{2}}{a+1}$，
化簡可得6a²+4a+1=0，
又∵△=16-4×6=-8＜0，所以方程無解，
即不存在a使得a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列．
綜上，不存在這樣的連續(xù)三項(xiàng)為等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．