Question

計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840 cm²，畫(huà)面的寬與高的比為λ（λ＜1），畫(huà)面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最�。咳绻�要求λ∈，那么λ為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最�。�

Answer 1

【答案】分析：設(shè)畫(huà)面高為xcm，寬為λxcm，則依題意可求得宣傳畫(huà)面積的表達(dá)式，設(shè)紙張面積為S，根據(jù)題意得S=（x+16）（λx+10）把前面求得x代入，整理后，根據(jù)均值不等式求得S的最小值，進(jìn)而求得此時(shí)的寬和高．如果λ∈[]，根據(jù)求函數(shù)單調(diào)性的方法，設(shè)，求得S（λ₁）-S（λ₂）＜0，判斷出函數(shù)在[]內(nèi)單調(diào)遞增，進(jìn)而可知λ=時(shí)，S（λ）取得最小值．
解答：解：設(shè)畫(huà)面高為xcm，寬為λxcm，
則λx²=4840
設(shè)紙張面積為S，則有
S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
將x=代入上式得
S=5000+44
當(dāng)8時(shí)，
S取得最小值，
此時(shí)高：x=cm，
寬：λx=cm
如果λ∈[]，
可設(shè)，
則由S的表達(dá)式得
S（λ₁）-S（λ₂）
=44
=
由于
因此S（λ₁）-S（λ₂）＜0，
所以S（λ）在區(qū)間[]內(nèi)單調(diào)遞增．
從而，對(duì)于λ∈[]，
當(dāng)λ=時(shí)，S（λ）取得最小值
答：畫(huà)面高為88cm、寬為55cm時(shí)，
所用紙張面積最��；
如果要求λ∈[]，當(dāng)λ=時(shí)，
所用紙張面積最�。�
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．在用均值不等式的時(shí)候要特別注意要驗(yàn)證一下等號(hào)是否能取到．