Question

為抗議日本“購買”釣魚島，某汽車4S店計劃銷售一種印有“釣魚島是中國的”車貼，已知車貼的進價為每盒10元，并且車貼的進貨量由銷售量決定．預計這種車貼以每盒20元的價格銷售時該店可銷售2000盒，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒車貼的價格在每盒20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400盒，而每增加一元則減少銷售200盒，現(xiàn)設(shè)每盒車貼的銷售價格為x元（10＜x≤26），x∈N^*．
（1）求銷售這種車貼所獲得的利潤y（元）與每盒車貼的銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每盒車貼的銷售價格x為多少元時，該店銷售這種車貼所獲得的利潤y（元）最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，每盒20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400盒，而每增加一元則減少銷售200盒，現(xiàn)設(shè)每盒車貼的銷售價格為x（10＜x≤26），得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，是一個分段函數(shù)．
（Ⅱ）分別求出各段函數(shù)的最大值比較最大得到最大值．

解答：解：（1）依題意y=

[2000+400(20-x)](x-10) ，10＜x≤20 [2000-200(x-20)](x-10)，20＜x≤26

=

400(25-x)(x-10) ，10＜x≤20 200(30-x)(x-10)，20＜x≤26

，x∈N^*，…（5分）
（2）y=

-400(x-17.5)2+22500，10＜x≤20 -200(x-20)2+20000，20＜x≤26

        …（8分）
當10＜x≤20時，x=17或18，y_max=22400（元）；
當20＜x≤26時，y＜20000，取不到最大值…（11分）
綜上可得，當x=17或18時，該店獲得的利潤最大為22400元．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．