Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項(xiàng)，其中a、b、c都是正數(shù)，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A₁（0，2），求△F₁PA₁面積的最大值；
（3）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點(diǎn)．證明：對(duì)任意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線段CD為直徑的圓過E點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）利用c²是a²與b²的等差中項(xiàng)可得c2=a2-b2=

a2+b2

2

，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立等式，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）當(dāng)橢圓上的點(diǎn)P到直線F₁A₁距離最大時(shí)，△F₁PA₁面積取得最大值，設(shè)出平行直線，即可求得結(jié)論；
（3）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，結(jié)合判別式，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：在橢圓中，由已知得c2=a2-b2=

a2+b2

2

（1分）
過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線方程為

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，該直線與原點(diǎn)的距離為

3

2

，
由點(diǎn)到直線的距離公式得：

ab

a2+b2

=

3

2

（3分）
解得：a²=3，b²=1，
所以橢圓方程為

x2

3

+y2=1（4分）
（2）解：F1(-

2

，0)，直線F₁A₁的方程為y=

2

x+2，|F1A1|=

6

，
當(dāng)橢圓上的點(diǎn)P到直線F₁A₁距離最大時(shí)，△F₁PA₁面積取得最大值（6分）
設(shè)與直線F₁A₁平行的直線方程為y=

2

x+d，將其代入橢圓方程

x2

3

+

y2

1

=1得：

7

3

x2+2d

2

x+d2-1=0，△=0，即8d2-

28

3

d2+

28

3

=0，解得d²=7，
所以當(dāng)d=-

7

時(shí)，橢圓上的點(diǎn)P到直線F₁A₁距離最大為

2+ 7

3

，此時(shí)△F₁PA₁面積為

1

2

6

2+ 7

3

=

2 2 + 14

2

（9分）
（3）證明：將y=kx+t代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

（11分）
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則x1+x2=-

6kt

1+3k2

，x1•x2=

3(t2-1)

1+3k2

，
因?yàn)橐訡D為直徑的圓過E點(diǎn)，所以

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，（13分）
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
所以(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

（14分）
如果k2＞

t2-1

3

對(duì)任意的t＞0都成立，則存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點(diǎn)．(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．
所以，對(duì)任意的t＞0，都存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點(diǎn)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查面積的最值，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)、韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．