Question

【題目】如圖，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，ABAC，AB＝3，AC＝4，B1CAC1．

（1）求AA1的長(zhǎng)；

（2）試判斷在側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)P，使得直線PC與平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）不存在符合題意的點(diǎn)P，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)直三棱柱，得到AA1⊥平面ABC，又AB⊥AC，以A為原點(diǎn)，{，，}為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝a＞0，利用B1C⊥AC1，由求解.

（2）假設(shè)存在，設(shè)(0，0，4)，，得到＝(3，﹣4，4)，由AB⊥平面AA1C1C，得到平面AA1C1C的法向量為＝(3，0，0)，設(shè)PC與平面AA1C1C所成角為，代入求解，再求得平面BA1C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角B—A1C—A的大小為，則，然后根據(jù)，由求解.

（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

又AB，AC平面ABC，

故AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC，

故以A為原點(diǎn)，{，，}為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)AA1＝a＞0，則A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)，

＝(﹣3，4，﹣a)，＝(0，4，a)，

因?yàn)?/span>B1C⊥AC1，

故，即，

又a＞0，故a＝4，即AA1的長(zhǎng)為4；

（2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，

假設(shè)存在，設(shè)(0，0，4)，，

則P(3，0，4)，則＝(3，﹣4，4)，

因?yàn)?/span>AB⊥AC，AB⊥AA1，又ACAA1＝A，AC，AA1平面AA1C1C，

所以AB⊥平面AA1C1C，

故平面AA1C1C的法向量為＝(3，0，0)，

設(shè)PC與平面AA1C1C所成角為，則，

設(shè)平面BA1C的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，平面AA1C的一個(gè)法向量為＝(3，0，0)，

由（1）知：＝(0，4，﹣4)，＝(﹣3，4，0)，＝(0，4，0)，

則，

令，則＝(4，3，3)

設(shè)二面角B—A1C—A的大小為，則，

因?yàn)?/span>，則，無(wú)解，

故側(cè)棱BB1上不存在符合題意的點(diǎn)P．