已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(
2
2
2
)且離心率為
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB,連接AM交橢圓于點(diǎn)P,在x軸上是否存在異于點(diǎn)A、B的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓經(jīng)過(guò)直線BP和直線MQ的交點(diǎn),若存在,求出Q點(diǎn),若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出
a2=b2+c2
c
a
=
3
2
2
a2
+
1
2b2
=1
,由此能求出橢圓方程.
(2)設(shè)P(x0,y0),則直線AP的方程y=
y0
x0+2
(x+2),由已知條件推導(dǎo)出M(2,
4y0
x0+2
),設(shè)定點(diǎn)Q(m,0),由MQ⊥PB,得到
y02
x02-4
4
2-m
=-1
,由此能求出定點(diǎn)Q(1,0).
解答: 解:(1)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(
2
,
2
2
)且離心率為
3
2
,
a2=b2+c2
c
a
=
3
2
2
a2
+
1
2b2
=1
,解得a=2,b=1,
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1

(2)設(shè)P(x0,y0),則直線AP的方程y=
y0
x0+2
(x+2),
∵A、B是橢圓C:
x2
4
+y2=1
的左、右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB,
∴M(2,
4y0
x0+2
),
設(shè)定點(diǎn)Q(m,0),∵M(jìn)Q⊥PB,
∴kMQ•kPB=-1,即
4y0
x0+2
2-m
y0
x0-2
=-1
,
y02
x02-4
4
2-m
=-1
,
又∵
x02
4
+y02=1
,∴
y02
x02-4
=
1-
x02
4
x02-4
=-
1
4
,
∴-
1
4
4
2-m
=-1,解得m=1,
∴定點(diǎn)Q(1,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的定點(diǎn)坐標(biāo)是否存在的判斷與求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在區(qū)間[0,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a、b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn)的概率為( 。
A、
7
8
B、
3
4
C、
1
2
D、
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求sinB+sinC取得最大值時(shí)三角形的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程;
(Ⅱ)設(shè)△ABC的三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且f(B)=3,b=3,求a•c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為-
1
2

(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡T的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)E(-1,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交軌跡T于C、D兩點(diǎn),若線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(
2
,
π
4
),圓心為直線ρsin(
π
3
-θ)=
3
2
與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(
5
,0),以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線
3
x-y+4=0相切,A,B分別是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且不與A,B重合.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若P均不與A,B重合,設(shè)直線PA與PB的斜率分別為kAP,kBP,試問(wèn)kAP•kBP的值是否為定值,若是,求出這個(gè)定值,若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在R上定義運(yùn)算*:x*y=x(1-y),則不等式(x-1)*(x+2)>0的解集為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若a+i=
b+i
i
,其中i為虛數(shù)單位,a,b為實(shí)數(shù),則a+b=
 

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