Question

5．在平面直角坐標系內(nèi)，點A（0，1），B（0，-1），C（1，0），點P滿足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=k|\overrightarrow{PC}{|^2}$．
（1）若k=2，求點P的軌跡方程；
（2）當k=0時，若$|λ\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}{|_{max}}=4$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （I）設P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（x-1，y）．通過k=2，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}{|^2}$，化簡求解點P的軌跡方程即可．
（II）通過k=0，推出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，得到x²+y²=1．化簡|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|²=（2-2λ²） y+2λ²+2（y∈[-1，1]）．然后求解表達式的最值即可．

解答 （本題滿分15分）
解：（I）設P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（x-1，y）．
因為k=2，所以 $\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}{|^2}$，
所以 （x，y-1）?（x，y+1）=2[（x-1）²+y²]，
化簡整理，得 （x-2）²+y²=1，
故點P的軌跡方程為 （x-2）²+y²=1．…（7分）
（II）因為k=0，所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，
所以 x²+y²=1．
所以|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|²=λ²$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{BP}$²
=λ²[x²+（y-1）²]+x²+（y+1）²
=（2-2λ²） y+2λ²+2（y∈[-1，1]）．
當2-2λ²＞0時，即-1＜λ＜1，
（|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|_max）²=2-2λ²+2λ²+2=4≠16，不合題意，舍去；
當2-2λ²≤0時，即λ≥1或λ≤-1時，
（|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|_max）²=2λ²-2+2λ²+2=16，解得λ=±2．…（8分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，向量的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．