Question

16．隨著生活水平的提高，人們對(duì)空氣質(zhì)量的要求越來越高，某機(jī)構(gòu)為了解公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查50人，并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，60）
頻數(shù)	10	10	10	10	10
贊成人數(shù)	3	5	6	7	9

（1）世界聯(lián)合國衛(wèi)生組織規(guī)定：[15，45）歲為青年，（45，60）為中年，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫以下2×2列聯(lián)表：

	青年人	中年人	合計(jì)
不贊成	16	4	20
贊成	14	16	30
合計(jì)	30	20	50

（2）判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為贊成“車柄限行”與年齡有關(guān)？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

（3）若從年齡[15，25），[25，35）的被調(diào)查中各隨機(jī)選取1人進(jìn)行調(diào)查，設(shè)選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態(tài)度的人員為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表即可；
（2）由（1）表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意知ξ的可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率值，
寫出隨機(jī)變量ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表如下；

	青年人	中年人	合計(jì)
不贊成	16	4	20
贊成	14	16	30
合計(jì)	30	20	50

（2）由（1）表中數(shù)據(jù)計(jì)算得
${K^2}=\frac{{50×{{（{16×16-4×14}）}^2}}}{20×30×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞3.841$，
對(duì)照臨界值得P（K²≥3.841）≈0.05，
因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為贊成“車輛限行”與年齡有關(guān)；
（3）根據(jù)題意，ξ的可能取值為0，1，2；
計(jì)算$P（{ξ=0}）=\frac{3}{10}×\frac{5}{10}=\frac{3}{20}，P（{ξ=1}）=\frac{3}{10}×\frac{5}{10}+\frac{7}{10}×\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{7}{10}×\frac{5}{10}=\frac{7}{20}$，
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{7}{20}$

所以數(shù)學(xué)期望為$Eξ=0×\frac{3}{20}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{7}{20}=\frac{24}{20}=1.2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望問題，是中檔題．