Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的正整數(shù)n滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）仿寫一個等式，兩式相減，得到數(shù)列的項的遞推關(guān)系，據(jù)此遞推關(guān)系，判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出通項．
（II）將數(shù)列的通項裂成兩項的差，通過和眾的項相互抵消，求出數(shù)列的前n項和．
解答：解：（Ⅰ）由，n=1代入得a₁=1，
兩邊平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
（1）式中n用n-1代入得（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，0=（a_n-1）²-（a_n-1+1）²，（3分）
[（a_n-1）+（a_n-1+1）]•[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正數(shù)數(shù)列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，有a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ），
裂項相消得．（14分）
點評：若知數(shù)列的和與項的遞推關(guān)系求通項，常采用仿寫的方法；求數(shù)列的前n項和，一般先判斷通項的特點，然后采用合適的求和方法．