已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=[lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)],問是否存在正數(shù)k,使得{bn}成等差數(shù)列?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
k=1時(shí),{bn}成等差數(shù)列.
假設(shè)存在正數(shù)k,使得{bn}成等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1qn-1.
而bn=[lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)]
=lg(ka1·a2·a3·…·an)
=lg(k·a1n·)
=lga1+(n-1)lg+lg.
∴bn+1-bn=(lga1+nlg+lg)-[lga1+(n-1)lg+lg]
=lg+lg-lg.
若{bn}為等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)lg-lg=0,
即lg=lg,=,
∴k=1.
因此當(dāng)k=1時(shí),{bn}成等差數(shù)列.
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2n-1 |
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an |
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2S1 |
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3S2 |
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(n+1)Sn |
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Sn+1 |
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