Question

某幾何體的三視圖如圖所示，已知其正視圖的周長為6，則該 幾何體體積的最大值為（　　）

• A．

  π

  2

• B．π
• C．

  3π

  2

• D．2π

Answer 1

分析：由三視圖知，判斷幾何體為圓柱，設(shè)其底面的半徑為r，高為h，利用周長，列出體積的關(guān)系式，通過導(dǎo)數(shù)求出最大值即可．

解答：解：由三視圖知，該幾何體為圓柱，
設(shè)其底面的半徑為r，高為h，
則4r+2h=6⇒2r+h=3，V=πr²h≤π（

r+r+h

3

）3=π（當(dāng)r=h時“=”成立）
或V=πr²h=πr²（3-2r），V'=π[2r（3-2r）-2r²]=6πr（1-r），
令V'=0得r=1，當(dāng)r∈（0，1）時，V'＞0，
當(dāng)r∈（1，+∞）時，V'＜0，
故當(dāng)r=1時，V有最大值，V_max=π，
故選B．

點評：本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．