Question

（2012•無為縣模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）寫出a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n-b_n-1=log₂a_n（n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知分別令n=1，2，代入即可求a₂，a₃，由a_n+1=3S_n+1，及當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=3S_n-1+1．兩式相減，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解通項(xiàng)
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減求和的方法即可求T_n；
（Ⅲ） 由已知利用疊加法及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式可求b_n，

解答：解：（Ⅰ）由已知得，a₂=4，a₃=16．…（2分）
由題意，a_n+1=3S_n+1，則當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=3S_n-1+1．
兩式相減，得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（3分）
又因?yàn)閍₁=1，a₂=4，

a 2

a1

=4，
所以數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=4n-1（n∈N^*）．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="hlrjaly" class="MathJye">Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（6分）
兩式相減得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n，…（8分）
整理得，Tn=

3n-1

9

•4n+

1

9

（n∈N^*）．…（9分）
（Ⅲ） 當(dāng)n≥2時(shí)，依題意得b₂-b₁=log₂a₂，b₃-b₂=log₂a₃，…，b_n-b_n-1=log₂a_n．
相加得，b_n-b₁=log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n．…（12分）
依題意log2an=log24n-1=2(n-1)．
因?yàn)閎₁=0，所以b_n=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．
顯然當(dāng)b₁=0時(shí)，符合．
所以b_n=n（n-1）（n∈N^*）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合的應(yīng)用．