Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b（x∈R）中a，b∈R，若對(duì)于任意的a∈[-3，3]，關(guān)于x 的不等式f（x）＞1在[-1，1]上恒成立，則b的取值范圍是（　　）

A．（-∞，2）

B．（-∞，3）

C．（2，+∞）

D．（3，+∞）

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=x²+ax+b的對(duì)稱軸為x=-

a

2

，a∈[-3，3]，分①當(dāng)-

3

2

≤-

a

2

＜-1時(shí)、②當(dāng)-1≤-

a

2

≤1時(shí)、③當(dāng)1＜-

a

2

≤

3

2

時(shí)三種情況，再根據(jù)最小值大于1，求得b的范圍．

解答：解：函數(shù)f（x）=x²+ax+b的對(duì)稱軸為x=-

a

2

，a∈[-3，3]，
①當(dāng)-

3

2

≤-

a

2

＜-1時(shí)，即2＜a≤3時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為f（-1）=1-a+b＞1，此時(shí)b＞a，故b＞3．
②當(dāng)-1≤-

a

2

≤1時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為f（-

a

2

）=b-

a2

4

＞1，
可得 b＞2．
③當(dāng)1＜-

a

2

≤

3

2

時(shí)，即-3≤a＜-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為f（1）=1+a+b＞1，此時(shí)b＞-a，故b＞3，
綜上可得，b＞3，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．