17.求微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$滿足初始條件y(1)=e的特解.

分析 微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$可化為xdy=(ex-y)dx,對(duì)兩邊同時(shí)積分,x=1,y=e代入可得C=e,即可得出結(jié)論.

解答 解:微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$可化為xdy=(ex-y)dx,
對(duì)兩邊同時(shí)積分,解得:xy=ex-xy+C (C常數(shù))
x=1,y=e代入可得C=e,
∴y=$\frac{{e}^{x}+e}{2x}$.
∴微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$滿足初始條件y(1)=e的特解y=$\frac{{e}^{x}+e}{2x}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微分方程的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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