Question

17．求微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$滿足初始條件y（1）=e的特解．

Answer 1

分析 微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$可化為xdy=（e^x-y）dx，對兩邊同時積分，x=1，y=e代入可得C=e，即可得出結論．

解答 解：微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$可化為xdy=（e^x-y）dx，
對兩邊同時積分，解得：xy=e^x-xy+C （C常數）
x=1，y=e代入可得C=e，
∴y=$\frac{{e}^{x}+e}{2x}$．
∴微分方程y′+$\frac{1}{x}$y=$\frac{{e}^{x}}{x}$滿足初始條件y（1）=e的特解y=$\frac{{e}^{x}+e}{2x}$．

點評 本題考查了微分方程的性質、導數的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．