Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求實數(shù)α的取值范圍；
（3）若x₁＞x₂＞0，求證：．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x，
∴g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，
則．…（2分）
當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）＞0，則g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=0處取得最大值g（0）=0．…（4分）
（2）∵?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，
∴在x＞0上恒成立．…（6分）
設(shè)h（x）=，則．
當(dāng)x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在x=e時取最大值h（e）=．
要使f（x）≤ax恒成立，必須a．．…（8分）
另一方面，當(dāng)x＞0時，x+≥2，要ax≤x²+1恒成立，必須a≤2．
所以，滿足條件的a的取值范圍是[，2]．．…（10分）
（3）當(dāng)x₁＞x₂＞0時，
不等式等價于ln＞．…（12分）
令t=，設(shè)u（t）=lnt-，t＞1，則＞0，
∴u（t）在[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴u（t）≥u（1）=ln1-=0，
∴l(xiāng)n＞，
∴．…（15分）
分析：（1）由g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，知，由此能求出函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值．
（2）由?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，知在x＞0上恒成立，由此能求出實數(shù)α的取值范圍．（3）當(dāng)x₁＞x₂＞0時，不等式等價于ln＞，由此利用構(gòu)造法能夠證明．
點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．