Question

【題目】已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，），且兩個(gè)焦點(diǎn)，的坐標(biāo)依次為（1，0）和（1，0）．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求當(dāng)為何值時(shí)，直線與以原點(diǎn)為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】（1）（2），定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【解析】【試題分析】(I)依題意得,將利用橢圓的定義計(jì)算出,最后計(jì)算出,得到橢圓的方程.設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,根據(jù)直線和圓相切,利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程,求得定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【試題解析】

(Ⅰ)由橢圓定義得，

即，又，所以，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，

直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，

當(dāng)判別式時(shí)，得，

設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，得，

整理得，

即，化簡(jiǎn)得

原點(diǎn)O到直線的距離，，

由已知有是定值，所以有，解得

即當(dāng)時(shí)，直線與以原點(diǎn)為圓心的定圓相切，

此時(shí)，定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為