Question

若拋物線y=x²在點（1，1）處的切線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率等于

5

2

．

Answer 1

分析：先利用導數(shù)求出切線的斜率，得到切線方程，再根據(jù)互相垂直的直線的性質求出漸近線的斜率，最后根據(jù)離心率公式求出所求即可．

解答：解：∵y=x²∴y′=2x則y′|_x=1=2
∴拋物線y=x²在點（1，1）處的切線方程為y=2x-1
∵切線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線垂直，
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線的斜率為-

1

2

則-

b

a

=-

1

2

不妨設a=2，b=1則c=

5

∴e=

c

a

=

5

2

故答案為：

5

2

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及雙曲線的簡單性質，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．