在四棱錐中，其底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，不通過此棱的一個側(cè)面與底面所成的二面角為45°，且最長的側(cè)棱長為15cm，則棱錐的高為
5
3
cm
5
3
cm
．
分析：在四棱錐S-ABCD中，由SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，知∠SCD=45°，設(shè)正方形ABCD的邊長是a，則SD=CD=a，BD=
2
a，由SD⊥BD，SB=15，知a2+2a2=225，由此能求出棱錐的高．
解答：解：如圖，SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，
∵SD⊥面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥面SDC，
∴SC⊥DC，
∴∠SCD是二面角S-BC-D的平面角，
∴∠SCD=45°，
設(shè)正方形ABCD的邊長是a，則SD=CD=a，BD=
2
a，
∵SD⊥BD，SB=15，
∴a2+2a2=225，解得a=5
3
．
故棱錐的高為5
3
．
故答案為：5
3
．
點評：本題考查棱錐的高的求法，考查二面角的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意三垂線定理的性質(zhì)和應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一塊邊長為10的正方形紙片，按如圖所示將陰影部分裁下，然后將余下的四個全等的等腰三角形作為側(cè)面制作一個正四棱錐S-ABCD（底面是正方形，頂點在底面的射影是底面中心的四棱錐）．
（1）過此棱錐的高以及一底邊中點F作棱錐的截面（如圖），設(shè)截面三角形面積為y，將y表為x的函數(shù)；
（2）求y的最大值及此時x的值；
（3）在第（2）問的條件下，設(shè)F是CD的中點，問是否存在這樣的動點P，它在此棱錐的表面（包含底面ABCD）運動，且FP⊥AC．如果存在，在圖中畫出其軌跡并計算軌跡的長度，如果不存在，說明理由．

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（1）過此棱錐的高以及一底邊中點F作棱錐的截面（如圖），設(shè)截面三角形面積為y，將y表為x的函數(shù)；
（2）求y的最大值及此時x的值；
（3）在第（2）問的條件下，設(shè)F是CD的中點，問是否存在這樣的動點P，它在此棱錐的表面（包含底面ABCD）運動，且FP⊥AC．如果存在，在圖中畫出其軌跡并計算軌跡的長度，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年四川省雅安市中學高二（下）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

在四棱錐中，其底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，不通過此棱的一個側(cè)面與底面所成的二面角為45°，且最長的側(cè)棱長為15cm，則棱錐的高為    ．

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