Question

已知函數f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的極大值．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，由于曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4，可得

f′(0)=(a+b)-4=4 f(0)=b=4

，解得即可．
（II）由（I）可知：f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．分別由f′（x）＞0；由f′（x）＜0解得函數f（x）單調區(qū)間．進而得到函數的極大值．

解答：解：（I）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4，
∴

f′(0)=(a+b)-4=4 f(0)=b=4

，解得a=b=4．
（II）由（I）可知：f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．
由f′（x）＞0解得x＜-2，x＞-ln2，此時函數f（x）單調遞增；
由f′（x）＜0解得-2＜x＜-ln2，此時函數f（x）單調遞減．
故當x=-2時，函數f（x）取得極大值，f（-2）=4（1-e^-2）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值、切線方程等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．