Question

（2011•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，n∈N^*，則a₂=

4

3

；并歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

2n

2n-1

．

Answer 1

分析：將n=1，代入已知等式，結(jié)合a₁=2可以得到a₂的值．再用n=2、3、4、5，求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)都是一個(gè)分?jǐn)?shù)，它的分子比分母大1，且分子成等比數(shù)列的特征，由此可以推出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁a₂+a₂-2a₁=0，結(jié)合a₁=2，得
2a₂+a₂-2×2=0⇒a₂=

4

3

再取n=2、3、4、5，用同樣的方法可以算出：
a₃=

8

7

，a₄=

16

15

，a₅=

32

31

所以猜想：an=

2n

2 n-1

接下來(lái)證明此結(jié)論：
∵a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0
∴

2

an+1

-

1

an

= 1⇒2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1
∴數(shù)列

1

an

-1構(gòu)成以

1

a1

-1=-

1

2

為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列
∴

1

an

-1= -

1

2

×(

1

2

)  n-1=

-1

2 n

所以

1

a n

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

，可得a_n=

2n

2n-1

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)數(shù)列模型為載體，考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、歸納推理和等比數(shù)列的通項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．