Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²-ax（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂且x₁＜x₂，證明：對滿足p+q=1，p≤q的任意正常數(shù)，f′（px₁+qx₂）＜0恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導，利用f'（x）＞0或f'（x）＜0求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導數(shù)，求f′（px₁+qx₂）的數(shù)值，利用導數(shù)證明不等式．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），則，令f'（x）=0，解得
，，所以當0＜x＜x₄時，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
當x＞x₄時，f'（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）因為函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂且x₁＜x₂，所以，兩式相減得，
因為，
所以
=，
因為2p≤p+q=1，x₂＞x₁，所以（2p-1）（x₂-x₁）≤0，要證f′（px₁+qx₂）＜0，只要證明

即可，即只要證明即可．
令，即只要證明上恒成立即可．=，
因為p+q=1，0＜p≤q，所以，所以當0＜t＜1時，t-1＜0，，
所以g'（x）＜0，所以函數(shù)g（t）在（0，1）上為增函數(shù)，所以g（t）＜g（1）=0．
所以，故所證明的不等式成立．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及通過構造函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式，運算量較大，綜合性較強．