Question

如圖：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，D為側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)，且DB=2，∠ABD=90°，DA=DC．
（1）證明：平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求三棱錐A₁-AC₁D的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)△ABD≌△CBD易證DB⊥平面ABC，從而有CC₁⊥平面ABC；設(shè)AC₁的中點(diǎn)為M，AC的中點(diǎn)為N，連接DM、DN和BN，可證得DM⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定定理即可證得平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）由（1）易知△AA₁C₁的面積為6，從而可求得三棱錐A₁-AC₁D的體積．
解答：（1）證明：∵DA=DC，DB=DB，BA=BC，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD=90°，即DB⊥BA，DB⊥BC，又BA∩BC=B，
∴DB⊥平面ABC，即BB₁⊥
∴CC₁⊥平面ABC，…4分
設(shè)AC₁的中點(diǎn)為M，AC的中點(diǎn)為N，連接DM、DN和BN，則MN∥CC₁且MN=CC₁，
又∵BD∥CC₁且BD=CC₁，
∴MNBD，即四邊形MNBD為平行四邊形，
∴MD∥BN，又△ABC為正三角形，
∴BN⊥AC，
又∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BN，又CC₁∩CA=C，
∴BN⊥平面AA₁C₁C，
∴DM⊥平面AA₁C₁C，
又DM⊆平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；…9分
（2）∵△AA₁C₁的面積為6，
∴三棱錐A₁-AC₁D的體積V=×6×DM=2BN=3…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查棱錐的體積，著重考查推理、計(jì)算與分析證明的能力，屬于難題．