Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F，橢圓上兩點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，M，N分別是線(xiàn)段AF，BF的中點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB的斜率k滿(mǎn)足0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• B． （$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）
• C． （0，$\sqrt{3}$-1）
• D． （$\sqrt{3}$-1，1）

Answer 1

分析 通過(guò)幾何法得到|F₁C|=|CO|=$\frac{c}{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出OA的斜率，由直線(xiàn)AB斜率為0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出e的取值范圍．

解答 解：記線(xiàn)段MN與x軸交點(diǎn)為C．
∵AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，
∴MN∥AB，|FC|=|CO|=$\frac{c}{2}$，
∵A、B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，
∴|CM|=|CN|．
∵原點(diǎn)O在以線(xiàn)段MN為直徑的圓上，
∴|CO|=|CM|=|CN|=$\frac{c}{2}$．
∴|OA|=|OB|=c．
∵|OA|＞b，
∴a²=b²+c²＜2c²，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)A（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，
得x²=$\frac{{a}^{2}（2{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}}$，y²=$\frac{{c}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$．
∵直線(xiàn)AB斜率為0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜$\frac{{c}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{a}^{2}（2{c}^{2}-{a}^{2}）}$＜$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜e²＜2，
由于0＜e＜1，
∴離心率e的取值范圍為（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，同時(shí)考查圓的性質(zhì)和直線(xiàn)斜率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．