Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n項(xiàng)和S_n=

a

1-a

（1-a_n）
（1）求證：{a_n}為等比數(shù)列；
（2）記b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，那么：
①當(dāng)a=2時(shí)，求T_n；
②當(dāng)a=-

7

3

時(shí)，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)于任意正整數(shù)n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=s_n-s_n-1得到整理得

an

an-1

=a，所以：{a_n}為等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）a_n=aⁿ化簡得b_n①當(dāng)a=2時(shí)，T_n=（2+2•2²++n•2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]lg2，兩式相減得到T_n；②如果存在滿足條件的正整數(shù)m，則m一定是偶數(shù)．b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-

a2

1-a2

）lg|a|，其中k∈N⁺，判斷b_2k+2-b_2k的符號(hào)來求出m即可．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

a

1-a

（1-a_n-1），
整理得：

an

an-1

=a，
所以{a_n}是公比為a的等比數(shù)列；
（2）∵a₁=a，∴a_n=aⁿ（n∈N^*），
∴b_n=a_nlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|（n∈N^*），
①當(dāng)a=2時(shí)，T_n=（2+2•2²++n•2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]lg2，
兩式相減得：-T_n=（2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）lg2，
②∵-1＜a＜1，∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=naⁿlg|a|＞0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=naⁿlg|a|＜0，
如果存在滿足條件的正整數(shù)m，則m一定是偶數(shù)，
又b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-

a2

1-a2

）lg|a|，其中k∈N^*，
當(dāng)a=-

7

3

時(shí)，a²-1=

2

9

，
∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0，又

a2

1-a2

=

7

2

，
∴當(dāng)k＞

7

2

時(shí)，b_2k+2＞b_2k，即b_g＜b₁₀＜b₁₂；
當(dāng)k＜

7

2

時(shí)，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，
故存在正整數(shù)m=8，使得對(duì)于任意正整數(shù)n都有b_n≥b_m．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)確定等比關(guān)系的能力，運(yùn)用數(shù)列求和的能力．