Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，a=8，b=10，△ABC的面積為20

3

，則△ABC中最大角的正切值是

5 3

3

或-

3

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式S=

1

2

absinC表示出三角形ABC的面積，把a，b及已知的面積代入求出sinC的值，分兩種情況考慮：當(dāng)C為最大角時，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，進而確定出tanC的值，即為三角形中最大角的正切值；當(dāng)C不為最大角時，根據(jù)a小于b得到B為最大角，求出C的度數(shù)，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，把a，b及cosC的值代入求出c的長，再由sinB及b的值，利用正弦定理求出sinC的值，同時利用余弦定理表示出cosC，把a，b及c的值代入求出cosC的值，進而確定出tanC的值，即為最大角的正切值，綜上，得到所求三角形中最大角的正切值．

解答：解：∵a=8，b=10，△ABC的面積為20

3

，
∴S=

1

2

absinC=40sinC=20

3

，
∴sinC=

3

2

，
若C為最大角，∠C=120°，此時tanC=-

3

；
若C不為最大角，∠C=60°，又a＜b，∴B為最大角，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=64+100-80=84，
∴c=2

21

，
再由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：
sinB=

bsinC

c

=

10× 3 2

2 21

=

5 7

14

，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

64+84-100

32 21

=

21

14

，
∴tanB=

5 3

3

，
綜上，△ABC中最大角的正切值為

5 3

3

或-

3

．
故答案為：

5 3

3

或-

3

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的邊角關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．