Question

如圖，在所有棱長均為2的正三棱柱中，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA₁到頂點(diǎn)C₁的最短路線與棱AA₁的交點(diǎn)記為M，求：
（Ⅰ）三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長．
（Ⅱ）該最短路線的長及

A1M

AM

的值．
（Ⅲ）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）

Answer 1

分析：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面展開圖是長為6，寬為2的矩形，直接可以求出對(duì)角線長；
（II）將側(cè)面AA₁B₁B繞棱AA₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，連接DC₁交AA₁于M，則DC₁就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA₁到頂點(diǎn)C₁的最短路線，求出DC₁和

A1M

AM

的值即可；
（III）連接DB，C₁B，可證∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角．

解答：解：（I）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面展開圖是長為6，寬為2的矩形
其對(duì)角線長為

62+22

=2

10

．
（II）如圖，將側(cè)面AA₁B₁B繞棱AA₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，
連接DC₁交AA₁于M，則DC₁就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA₁到頂點(diǎn)C₁的最短路線，
其長為

DC2+ CC 2 1

=

42+22

=2

5

∵△DMA≌△C₁MA₁，
∴AM=A₁M
故

A1M

AM

=1
（III）連接DB，C₁B，
則DB就是平面C₁MB與平面ABC的交線在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂線定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角（銳角），
∵側(cè)面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．