Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙0的一條切線，切點(diǎn)為B，直線ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．
（1）求證：FG∥AC；
（2）若CG=1，CD=4，求

DE

GF

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割線定理證出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，證出

AD

AC

=

AC

AE

，結(jié)合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADC=∠EGF，從而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此

DE

GF

=

CD

CG

=4．

解答：解：（1）∵AB與⊙O的相切于點(diǎn)B，ADE是⊙O的割線，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，∴AC²=AD•AE，可得

AD

AC

=

AC

AE

又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，
∵四邊形DEGF內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，
因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．
（2）∵四邊形DEGF內(nèi)接于⊙O，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
因此△CGF∽△CDE，可得

DE

GF

=

CD

CG

，
又∵CG=1，CD=4，∴

DE

GF

=4．

點(diǎn)評：本題給出圓的切線與割線，求證直線互相平行，并求線段的比值．著重考查了切割線定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．