Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，求證：無論實數(shù)取什么值都有.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析； (2)證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求得定義域為，求導(dǎo)通分后研究導(dǎo)函數(shù)的分子，利用判別式對分子根的個數(shù)和分布進行分類討論，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知時有兩個極值點，且，由此利用差比較法，計算的最小值為，即可得證.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為.

，記，判別式.

①當(dāng)即時，恒成立，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)或時，方程有兩個不同的實數(shù)根，記，，顯然

（ⅰ）若，圖象的對稱軸，.

兩根在區(qū)間上，可知當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，，所以，所以在區(qū)間上遞增.

（ⅱ）若，則圖象的對稱軸，.，所以，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)或時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知當(dāng)時，沒有極值點，當(dāng)時，有兩個極值點，且.

，

∴又，

.記，，則，所以在時單調(diào)遞增，，所以，所以.