【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若存在兩個極值點,求證:無論實數(shù)取什么值都有.

【答案】(1)答案見解析; (2)證明過程見解析.

【解析】

試題分析:(1)先求得定義域為,求導(dǎo)通分后研究導(dǎo)函數(shù)的分子,利用判別式對分子根的個數(shù)和分布進(jìn)行分類討論,由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)知時有兩個極值點,且,由此利用差比較法,計算的最小值為,即可得證.

試題解析:(1)函數(shù)的定義域為.

,記,判別式.

當(dāng)時,恒成立,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時,方程有兩個不同的實數(shù)根,記,顯然

)若圖象的對稱軸,.

兩根在區(qū)間上,可知當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增,,所以,所以在區(qū)間上遞增.

)若,則圖象的對稱軸.,所以,當(dāng)時,,所以,所以上單調(diào)遞減.當(dāng)時,,所以,所以上單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

2)由(1)知當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有兩個極值點,且.

,

,

.,,則,所以時單調(diào)遞增,,所以,所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】據(jù)悉遵義市紅花崗區(qū)、匯川區(qū)2017年現(xiàn)有人口總數(shù)為110萬人,如果年自然增長率為,試解答以下問題:

(1)寫出經(jīng)過年后,遵義市人口總數(shù)(單位:萬人)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)計算10年以后遵義市人口總數(shù)(精確到0.1萬人);

(3)計算經(jīng)過多少年后遵義市人口將達(dá)到150萬人(精確到1年)

(參考數(shù)據(jù)

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【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為D,若函數(shù)滿足條件:存在,使上的值域為,則稱為“倍縮函數(shù)”,若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是(

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓的左焦點為,其左、右頂點為,橢圓與軸正半軸的交點為的外接圓的圓心在直線上.

I)求橢圓的方程;

II)已知直線,是橢圓上的動點,,垂足為,是否存在點,使得為等腰三角形?若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線,圓,點為拋物線上的動點,為坐標(biāo)原點,線段的中點的軌跡為曲線.

(1)求拋物線的方程;

(2)點是曲線上的點,過點作圓的兩條切線,分別與軸交于兩點.

面積的最小值.

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【題目】為了增強環(huán)保意識,某社團從男生中隨機抽取了60人,從女生中隨機抽取了50人參加環(huán)保知識測試,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

男生

40

20

60

女生

20

30

50

總計

60

50

110

(1)試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

(2)為參加市舉辦的環(huán)保知識競賽,學(xué)校舉辦預(yù)選賽,現(xiàn)在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽,已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為,若隨機變量表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附:

0.500

0.400

0.100

0.010

0.001

0.455

0.708

2.706

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為減少空氣污染,某市鼓勵居民用電(減少燃?xì)饣蛉济海,采用分段計費的方法計算:電費每月用電不超過100度時,按每度0.57元計算;每月用電量超過100度時,其中的100度仍按原標(biāo)準(zhǔn)收費,超過的部分每度按0.5元計算.

(Ⅰ)設(shè)月用電度時,應(yīng)交電費元,寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)小明家第一季度繳納電費情況如下:

月份

一月

二月

三月

合計

交費金額

76元

63元

45.6元

184.6元

問小明家第一季度共用電多少度?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某種產(chǎn)品的廣告費用支出與銷售額之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):

2

4

5

6

8

30

40

60

50

70

(1)畫出散點圖;并說明銷售額y與廣告費用支出x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求回歸直線方程;

(3)據(jù)此估計廣告費用為10時,銷售收入的值.

(參考公式:,).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)上的最大值;

(2)令,若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;

(3)當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸交于兩點,且,又的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.試比較與0的關(guān)系,并給出理由.

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