Question

（2010•孝感模擬）如圖，AC₁是正方體的一條對角線，點P、Q分別為其所在棱的中點，則異面直線PQ與AC₁所成的角為

π

2

．

Answer 1

分析：取AB₁的中點R，連接PR，QR，BD，AB，AD，在正方體中，根據(jù)線面垂直的判定定理可得線面垂直：AC₁⊥平面ABD，再根據(jù)面面平行的判定定理可得面面平行．結(jié)合線面垂直的判定定理得出AC₁⊥平面PQR，最后利用線面垂直的性質(zhì)定理得出PQ⊥AC₁．從而異面直線PQ與AC₁所成的角直角．

解答：解：取AB₁的中點R，連接PR，QR，BD，AB，AD，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面AC₁
從而得到BD⊥AC₁，
同理得AB⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面ABD，
因為P，Q，R分別是棱BB₁，AD₁，AB₁的中點，
所以PR∥AB，
所以QR∥B₁D₁∥BD，
∴平面PQR∥平面ABD，
∴AC₁⊥平面PQR，
又因為PQ?平面PQR，
所以PQ⊥AC₁．
則異面直線PQ與AC₁所成的角為

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點評：本題主要考查線面平行、線面垂直的判定定理，以及解決異面直線及其所成的角的問題．屬于基礎題．