Question

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）試求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

3

（縱坐標(biāo)不變），然后再將新的圖象向軸正方向平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．寫(xiě)出函數(shù)y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．我們易求出函數(shù)的最值及周期，進(jìn)而求出A，ω值，再由圖象在y軸上的截距為1，|?|＜

π

2

，將（0，1）點(diǎn)代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的周期變換及平移變換法則，結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式，即可求出函數(shù)y=g（x）的解析式．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象
在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
∴T=6π，即ω=

1

3

，A=2，
∴f(x)=2sin(

1

3

x+?)，
又∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象在y軸上的截距為1，
∴函數(shù)圖象過(guò)（0，1），
∴sin?=

1

2

，
∵|?|＜

π

2

，
∴?=

π

6

，
∴f(x)=2sin(

x

3

+

π

6

)；
（2）∵將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

3

（縱坐標(biāo)不變），
然后再將新的圖象向軸正方向平移

π

3

個(gè)單位，
得到函數(shù)y=g（x）的圖象
∴g(x)=2sin[3•

(x- π 3 )

3

+

π

6

]
整理得：g(x)=2sin(x-

π

6

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的最值，周期，向左平移量，特殊點(diǎn)等，進(jìn)而求出A，ω，φ值，得到函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．