Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，正三角形△AF₁F₂的頂點A在y軸上，邊AF₁與雙曲線左支交于點B，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=4$\overrightarrow{B{F}_{1}}$，則雙曲線C的離心率的值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$+1
• B． $\frac{\sqrt{13}+1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 不妨設(shè)△AF₁F₂的邊長為4，求得c=2，由向量共線可得|BF₁|=1，在△BF₁F₂中，由余弦定理求得|BF₂|=$\sqrt{13}$，再由雙曲線的定義和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：不妨設(shè)△AF₁F₂的邊長為4，則|F₁F₂|=2c=4，c=2．
由$\overrightarrow{A{F_1}}=4\overrightarrow{B{F_1}}$，可得|BF₁|=1，
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得|BF₂|²=|BF₁|²+|F₁F₂|²-2|BF₁|•|F₁F₂|cos∠BF₁F₂
=1+16-2×1×4×$\frac{1}{2}$=13，|BF₂|=$\sqrt{13}$，
由雙曲線的定義可得2a=|BF₂|-|BF₁|=$\sqrt{13}$-1，
解得a=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和余弦定理，考查運算能力，屬于中檔題．