Question

已知圓心為P的動(dòng)圓與直線(xiàn)y=-2相切，且與定圓x²+（y-1）²=1內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)斜率為2

2

的直線(xiàn)與曲線(xiàn)E相切，求此時(shí)直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）利用直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)及拋物線(xiàn)的定義即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)圓心P（x，y），∵圓P與直線(xiàn)y=-2相切，∴圓P的半徑R=|y+2|．
又∵原P與定圓x²+（y-1）²=1內(nèi)切，
∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，
∴點(diǎn)P到定直線(xiàn)y=-1與到定點(diǎn)F（0，1）的距離相等，
∴點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)x²=4y．即曲線(xiàn)E的方程為x²=4y．
（2）設(shè)斜率為2

2

的直線(xiàn)與曲線(xiàn)E相切于點(diǎn)M（x₀，y₀）．
由曲線(xiàn)E的方程為x²=4y，∴y′=

x

2

，∴切線(xiàn)的斜率為

x0

2

，
∴

x0

2

=2

2

，即x0=4

2

，∴y0=

(4 2 )2

4

=8，
∴切點(diǎn)為(4

2

，8)．
∴切線(xiàn)方程為y-8=2

2

(x-4

2

)，化為2

2

x-y-8=0．
∴原點(diǎn)到此切線(xiàn)的距離d=

|0-0-8|

(2 2 )2+(-1)2

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)及拋物線(xiàn)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解題的關(guān)鍵．