Question

17．某小區(qū)要將如圖所示的一塊三角形邊角地修建成花圃．根據(jù)建造規(guī)劃，要求橫穿花圃的直線灌溉水道DE恰好把花圃分成面積相等的兩部分（其中D在邊AB上，E在邊AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°
（1）設(shè)AD=x，DE=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）（解析式和定義域）；
（2）為使得灌溉水道DE的建設(shè)費用最少，試確定點D的具體位置．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形面積，求得x與AE的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)余弦定理把x和AE的關(guān)系帶入求得x和y的關(guān)系．
（2）根據(jù)均值不等式求得y的最小值，求得等號成立時的x的值即可．

解答 解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，
∴△ABC的面積是$\sqrt{3}$a²，
∴△ADE的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∵AD=x，DE=y，
∴①$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x×AE×sin60°，
∴AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，
②y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°=x²+AE²-x•AE=x²+（$\frac{2{a}^{2}}{x}$）²-2a²，
∴y＞0，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$，
又AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$≤2a，∴x≥a，
∵D在AB上，
∴x≤2a，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$  （a≤x≤2a），
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$≥$\sqrt{2•2{a}^{2}-2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=$\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}$，即x=$\sqrt{2}$a時“=”成立，
此時AE=$\sqrt{2}$a，
∴使AD=AE=$\sqrt{2}$a時，DE最短，最短為$\sqrt{2}$a．

點評 本題主要考查基本不等式，以及函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力．