Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{cosx}$的定義域為$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，當$|{x_i}|＜\frac{π}{2}$（i=1，2，3）時，若x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₁+x₃＞0，則有f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值（　　）

• A． 恒小于零
• B． 恒等于零
• C． 恒大于零
• D． 可能大于零，也可能小于零

Answer 1

分析 分析出函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{cosx}$的奇偶性和單調(diào)性，進而結合x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₁+x₃＞0，可得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值恒為正．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{cosx}$的定義域$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$關于原點對稱，
且滿足f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又由$f′（x）=\frac{3{x}^{2}cosx+{x}^{3}sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，在x∈$（0，\frac{π}{2}）$時恒成立，
故x∈$（0，\frac{π}{2}）$時，函數(shù)為增函數(shù)，
進而可得x∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$時，函數(shù)為增函數(shù)，
若x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₁+x₃＞0，
則x₁＞-x₂，x₂＞-x₃，x₃＞-x₁，
則f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃），f（x₃＞f（-x₁）=-f（x₁），
即f（x₁）+f（x₂）＞0，f（x₂）+f（x₃）＞0，f（x₁）+f（x₃）＞0，
故2[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）]＞0，
即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值恒大于零，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．